Grox的序列五A：一次十进制模幂¶
出题人解法：Stirling 数与下降阶乘展开。Codex（GPT-6）：将模幂组织为一次十进制求值及连续乘二，并截断不需要的 Stirling 列。 计算程序沿用主题解的计数恒等式，改变指数处理方法，不需要分解模数、欧拉函数或模逆元。
从最小指数向上计算¶
当 \(k=0\) 时，按题目的零次幂约定，答案为 \(2^n-1\) .直接按十进制数字计算这个幂；当 \(n=0\) 时答案为零。
对 \(k>0\) ，令 \(m=\min(n,k)\) .主题解已证明
先用滚动递推求出 \(S(k,1),\ldots,S(k,m)\) .每行只需要前 \(m\) 列，因为更新某列只依赖本列和前一列。再由 \(n\bmod p\) 逐项相乘求下降阶乘，保存
十进制读入时用饱和计数得到 \(m\) ，对十进制串做一次小整数减法，得到非负整数 \(n-m\) 的十进制表示。减法的借位可连续经过多个零，不能用指数余数代替这个真实减法。
计算 \(B=2^{n-m}\bmod p\) .若已读前缀指数为 \(t\) ，下一个数字为 \(d\) ，则
按此式扫描数字即可处理任意长度的指数，不需要底数与模数互质。
最后从 \(j=m\) 向 \(1\) 扫描，加入 \(W_jB\) 后将 \(B\) 乘二。对应指数依次为 \(n-m,n-m+1,\ldots,n-1\) ，全部非负。
正确性与边界¶
Stirling 有限求和式在整数中成立，滚动递推与下降阶乘给出正确的权值。十进制模幂由上述恒等式逐位保持真实指数的余数；连续乘二准确生成其他指数。因此每项都与有限求和式一致，对任意正整数模数成立。\(p=1\) 单独返回零，\(n=0\) 单独返回零；负的下降阶乘因子先规范再相乘，因子为零后也无需除法。
复杂度与取舍¶
设 \(D\) 为十进制位数。非零分支的时间为 \(O(km+D)\) ，空间为 \(O(m+D)\) ；\(k=0\) 或 \(n=0\) 时仅需 \(O(D)\) 时间。最坏 \(m=k\) 时为 \(O(k^2+D)\) .
Euler 指数方案需要 \(O(\sqrt p)\) 的试除和逐项模幂；此方案省去这两部分及非互质指数边界，计数算法保持一致。它是一种更简洁的完整范围实现，与现有标程并列；实际时间与内存差异以同输入测量为准。
同输入测量¶
与标程在全部 10 份正式输入上的输出一致；五轮交替计时及输入、源码、程序哈希见完整记录，环境见参考评测环境。标程最慢中位耗时为 0.036134 秒，补充方案为 0.035908 秒；峰值工作集分别为 5.30 与 5.32 MiB，包含进程与运行库开销。 补充程序在全部已测正式输入上均低于 0.5 秒参考时限。该结论仅针对随附实现、这些输入与参考环境；有限测试不代替正确性证明，也不保证每一种同阶实现通过。