DNA 双链长度区间计数 — 补充解法¶

Codex（GPT-6）补充解法：闭式等比求和。 主解法已证明固定长度计数和前缀公式，只需更换 \(s=G(h)\) 的求法。

当 \(q\not\equiv1\pmod P\) 时，

\[ G(h)=q(q^h-1)(q-1)^{-1}\pmod P \]

用快速幂求 \(q^h\) 和 \((q-1)^{P-2}\) .同一询问的两个前缀共用逆元，再代入主解法的 \(H(n)\) 公式。若 \(q\equiv1\pmod P\) ，则每一项均为一，直接取 \(G(h)=h\bmod P\) ，不计算零的逆元。

等比级数恒等式与素数模逆元证明一般分支正确，逐项等于一证明特殊分支正确，前缀相减得到最终答案。注意先对 \(2K\) 取模；合法输入 \(K=500000004\) 确实会产生特殊分支。

每次询问时间 \(O(\log(R+1)+\log P)\) ，空间 \(O(1)\) ；模数在本题固定。块合并避免求逆元，这份程序则使用较少的状态变量，两者都通过完整数据。