最小值加权的区间和：按右端点维护分组¶
贡献：Codex（GPT-6）将经典单调栈动态规划应用于左端点分组，给出不变量、正确性证明与实现。它与出题人的负责人区间方案具有相同的线性复杂度，作为并列解法。
固定右端点¶
令 \(P_r\) 为前 \(r\) 项之和。所有以 \(r\) 结尾的区间，按最小值分组；组内保存最小值 \(m\) 、左端点数量 \(c\) ，以及这些左端点之前的前缀和之和
该组对当前答案的贡献为 \(m(cP_r-S)\) .维护全局量
则本轮所有区间贡献就是 \(P_rU-V\) .
单调栈更新¶
按左端点由小到大的顺序，区间最小值不下降。把最小值相等的连续左端点合为一组，组的最小值严格递增，保存在栈中。
读入 \(x=A_r\) 前，已有组对应右端点 \(r-1\) .建立新组，初始 \(c=1,S=P_{r-1}\) ，代表单点区间。弹出所有最小值 \(m\ge x\) 的末尾组：
- 从 \(U,V\) 中删除该组的 \(mc,mS\) .
- 把该组的 \(c,S\) 加入新组。
这些组扩展后最小值都变为 \(x\) ，其左端点和相应 \(P_{l-1}\) 不变。未弹出的组保持原最小值。压入合并后的新组，更新 \(U,V\) ，再令 \(P_r=P_{r-1}+x\) ，将 \(P_rU-V\) 加入总答案。
正确性¶
归纳假设栈准确划分所有以 \(r-1\) 结尾的区间。扩展到 \(r\) 后，每个最小值变为 \(\min(m,x)\) .单调性保证所有需要变为 \(x\) 的组恰好是栈的一个后缀，正是被合并的组；单点区间也归入最小值为 \(x\) 的新组。因此更新后的栈恰好划分所有以 \(r\) 结尾的区间，并保持各组的 \(c,S\) .公式 \(m(cP_r-S)\) 精确汇总组内区间贡献，故每轮得到全部当前右端点的贡献。每个区间只有一个右端点，总累加正确。
数值、复杂度与用途¶
每组只入栈、出栈一次，总时间 \(O(N)\) ，栈空间 \(O(N)\) .一个栈项保存两个三十二位整数及一个十六字节宽整数，共二十四字节。前缀和 \(P_r\) 与 \(U\) 的绝对值不超过 \(10^{16}\) ，用六十四位；\(S,V\) 、乘积 \(P_rU\) 和答案用主解所述的可移植一百二十八位类型。\(P_rU\) 的绝对值至多 \(10^{32}\) ，远小于宽整数上界；总答案采用主解的完整区间绝对值界。
数据可以流式读入。最大栈仍可有 \(N\) 项，所以它不承诺次线性最坏空间。本机正式输入中该方案运行更快，最大工作集与负责人方案接近；实测不能替代对所有平台的重新校准。两份程序均通过完整范围、独立区间枚举、最大规模子树聚合与宽整数专项核对。
程序：alternative.cpp。完整测量。