真空内爆弹：题解¶

并列方案：仿射矩阵。Codex（GPT-6）采用的解法，程序见 alternative.cpp；与出题人解法的比较见主题解。

把操作写成仿射变换¶

每个操作都能写为 \(v'=Av+t\) ，其中 \(v=(x,y)^\mathsf{T}\) ，\(A\) 为 \(2\times2\) 矩阵，\(t\) 为平移向量。平移的矩阵为单位矩阵，四种对称的矩阵依次为

\[ \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix} \]

逆时针旋转的矩阵是

\[ \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} \]

先做 \((A_1,t_1)\) ，再做 \((A_2,t_2)\) ，合成结果为

\[ (A_2A_1,\ A_2t_1+t_2) \]

乘法顺序不能交换；后来的旋转或对称也会作用于此前累计的平移。

线段树¶

按点的编号建线段树，每个节点维护尚未下传的仿射变换。区间完全覆盖时，将新变换合成到旧标记之后。部分覆盖或向下查询时，把父标记合成到两个子节点之后，再把父标记重置为恒等变换。

叶节点以初始坐标作为平移向量，相当于把原点变换到该点。所有后续变换合成后，叶节点的平移向量就是当前坐标。单点查询沿途下传标记；最后遍历全部叶节点，按编号输出。

正确性¶

仿射合成公式与依次执行两个操作完全相同。维护不变式：每个节点的标记表示其子树尚未收到的、按时间顺序执行的变换。完全覆盖时追加新操作，部分覆盖前下传较早的操作，均保持这一不变式。查询到叶节点时，全部相关操作已按输入顺序合成，因此得到正确坐标；最终遍历同理。

精度与复杂度¶

参考程序使用 long double 保存六个仿射系数，输出八位小数。每次区间修改或单点查询为 \(O(\log n)\) ，建树和最终输出为 \(O(n)\) ，总时间 \(O(n+m\log n)\) ，空间 \(O(n)\) .

随题提供 tests/checker.cpp ，编译后按 checker input reference contestant 调用。它根据输入统计查询数量，检查全部坐标、缺失或额外输出，以及非有限数值；每个坐标按绝对误差 \(0.05\) 检查，并附 \(10^{-6}\) 的比较舍入余量。