不同顺子的牌组划分：题解¶
贡献：Codex（GPT-6）完成本题的有限状态建模、正确性证明、按位并行转移与标准 C++17 实现。有限状态动态规划是经典方法。
同种同数字先合并¶
把领取记录按“种类、数字”排序，相同键的数量相加。不同种类的牌不会进入同一组，可以分别处理。记录数量总和可能达到 \(5\times10^{15}\) ，聚合计数与排序键使用六十四位整数。
只使用同牌三张、四张组时，一个数量 \(c\) 可行，当且仅当 \(c\ge0\) 且 \(c\notin\{1,2,5\}\) .零、三、四显然可行；六、七、八分别为三加三、三加四、四加四。任意更大的整数可反复减三归入这三种情况；一、二、五无法组成。
六个比特记住尚未完成的顺子¶
固定一种牌，从小到大处理数字。每个起点的三张顺子与五张顺子各最多一个。处理数字 \(i\) 前，只需要记住：
- 起点为 \(i-1,i-2\) 的三张顺子是否存在；
- 起点为 \(i-1,i-2,i-3,i-4\) 的五张顺子是否存在。
共六个布尔量，构成 \(64\) 个状态。令状态 \(s\) 的一比特个数为 \(h(s)\) ，它就是已经开始的顺子在当前数字上必须拿走的牌数。
在当前数字再选择是否开始三张、五张顺子，分别记为 \(u,v\in\{0,1\}\) .若当前数量为 \(c\) ，则剩余
必须满足同牌组条件。随后将两段历史分别左移，加入 \(u,v\) ，丢弃已经完成顺子的最老比特。编码采用高两位存三张顺子、低四位存五张顺子：
初态只有空状态零。处理完某种牌后，必须存在状态零，否则仍欠未来数字的牌。两个实际出现的数字之间若有缺口，缺失数字的数量为零，所有开放顺子都无法跨过它。因此在缺口处检查空状态并重置，无需扫描大量不存在的数字。种类变化时同样检查。
图中的三元组 \((b,c,\ell)\) 依次表示种类、起始数字、长度。五个不同数字可组成一个五张顺子；下面两个相同的三张顺子不能同时使用。
将整个可行状态集放入一个整数¶
用无符号六十四位整数的第 \(s\) 位表示状态 \(s\) 是否可行。当前所需牌数最多为 \(6+2=8\) ，故 \(c\ge14\) 时剩余至少六张，所有余量均可行。只需处理数量类别 \(0,\ldots,14\) ，大于十四的数量按十四处理。
预计算掩码 \(H[c][t]\) ，保留满足 \(c-h(s)-t\) 可分组的状态，其中 \(t=u+v\in\{0,1,2\}\) .令 \(P(X)\) 表示不加入新顺子时的历史移动，并把移动后相同的状态合并。那么
位或表示可行状态的并集。移动 \(P\) 需要遗忘状态编号的第三、第五比特：依次把集合与其右移八位、右移三十二位的结果取或，再取位置零到七与十六到二十三两个八位片段。用一个 \(256\) 项表把片段第 \(j\) 位展开到第 \(2j\) 位，高片段再左移三十二位。新顺子对应的两个位置留空，最后用上式填入。所有移位作用于无符号数，最大结果位号为六十三。
正确性¶
归纳地，可行状态集恰好描述当前数字以前的所有合法分组及其未完成顺子。任何合法划分在当前数字都唯一确定已经欠下的数量及新开顺子 \(u,v\) ；其余牌必须且只需分成同牌组，因此不会漏掉合法转移。反过来，每个转移都为开放顺子补足一张，并使用互不重复的起点、长度标记，新状态准确记住剩余需求。终点空状态恰好等价于所有顺子已经结束。各类型互不相交，所以逐类型均可行当且仅当全部牌可划分。按位实现只合并相同目标状态，不改变这一递推。
复杂度与方案选择¶
令 \(d\le k\) 为合并后的不同牌键数。排序耗时 \(O(k\log k)\) ，动态规划耗时 \(O(d)\) ，总空间 \(O(k)\) .五百万个十六字节记录约占八千万字节，排序原地进行；不要再保留同等大小的副本。
直接遍历六十四个状态也是同一递推，可用于核对；按位版本避免每个数字逐状态枚举。额外引入矩阵或一般图搜索没有时间、空间或表达上的优势。
参考程序：std.cpp。验证包含独立枚举顺子子集、全部单状态转移核对和最大范围直接状态递推。正式数据配方见 plan.json，生成方法见 generate.py，运行记录见性能数据。