交集分类：顶边方法¶
出题人解法：选择顶边最高的矩形，检查另一个矩形的顶边；配套讲解另有投影及中心距离两种方法。Codex（GPT-6）：补齐题面提示的退化分类及可执行程序，核对全部交集类型。
统一端点并判空¶
对每个图形 \(X\) ，将输入规范化为闭区间的直积 \([l_X,r_X]\times[b_X,t_X]\) ，分别表示左右和上下边界。允许区间长度为零。
交换两个图形，使 \(t_A\ge t_B\) . 交集为空当且仅当以下至少一个条件成立：
后两个条件检查水平区间分离。纵向只需检查第一个条件：\(t_A\ge t_B\ge b_B\) 已排除另一种上下分离方式。
正确性¶
如果上式任一严格不等式成立，两图形在某个坐标方向没有公共坐标，因此不相交。反之，两个水平闭区间相交，且 \(t_B\) 同时位于两个纵向闭区间内。选取任意公共水平坐标，与纵坐标 \(t_B\) 组合，就得到一个公共点。故判空条件充分且必要。使用严格小于号，才能保留边界接触和点退化。
非空交集的维数¶
排除空集后，分别判断两个方向的公共区间是否具有正长度：
方括号表示条件为真时取 \(1\) ，否则取 \(0\) . 由于公共纵向区间的上端点为 \(t_B\) ，第二个式子恰好判断 \(t_B>\max(b_A,b_B)\) .
交集是两个公共区间的直积，所以 \(p_x+p_y=2\) 时为 Area ，等于 \(1\) 时为 Edge ，等于 \(0\) 时为 Point . 一维正长度与另一维零长度形成线段；两维都为零只剩一个点。这也覆盖一条线段位于矩形内部、两条线段交叉等退化情况。
不能只看输入图形的退化类型来判断交集维数：两个正面积矩形也可能只接触一条边或一个点。
复杂度与方案比较¶
每组 \(O(1)\) 时间和 \(O(1)\) 额外空间，全部输入为 \(O(T+1)\) 时间。无需计算面积或乘坐标差；所有实现都使用 64 位整数，方便安全处理中心坐标之和。
首选程序为 std.cpp。另有两份并列方案，均具有相同的复杂度并支持完整数据：
- 对称投影公式与 alternative-projection.cpp：不交换图形，直接求两个坐标轴上的公共区间，表达对称。
- 中心距离与 alternative-center.cpp：比较中心距离与半边长之和，全部乘以二后使用整数运算。
顶边法对应题面的几何观察；投影公式无需按高低排序；中心距离法提供另一种几何表达，但组合多个坐标时需要较大的整数类型。三者没有渐进复杂度差异，不把代码长短或常数级实测波动作为算法优势。
验证包含所有取自 \(\{-1,0,1\}\) 的八个端点坐标组合、端点逆序、包含、接触、退化与坐标极值。数据配方见 plan.json，性能见评测说明。