编辑城镇与模拟币3：按最优路线计算财富¶
Codex（GPT-6）给出最优搬家路线的批量仿射计算。最优路线及上界证明见主解，本方案直接计算这条路线的家庭财富，不代入最终闭式公式。
路线与批量搬家¶
沿用 \(k,l,N,r\) ，记全城财富为 \(S=m_1+m_2\) ，A当前财富为 \(x\) .空户或目标初始人均财富较高时仍直接返回 \(m_1\) .
否则取 \(h=\lfloor N/2\rfloor\) ，执行 \(k\to h\)、\(r\) 次 \(h\to h+1\to h\)、\(h\to l\) 的人数路线。主解已经证明它合法且最优，最终目标全部在B。
一段单调路线令A人数从 \(s\) 变到 \(t\) ：
- 若 \(t<s\) ，连续从A搬出居民，A的人均财富不变，所以 \(x'=xt/s\) .
- 若 \(t>s\) ，连续从B搬出居民，B的人均财富不变，所以 \(x'=S-(S-x)(N-t)/(N-s)\) .
- 若 \(s=t\) ，财富不变。
两段单调路线各用常数次模运算完成。
重复往返¶
从A有 \(h\) 人开始，先把一人从B搬到A，再把一人从A搬回B。A财富依次变为
\[
x'=x+\frac{S-x}{N-h},\qquad
x''=\frac h{h+1}x'=\alpha x+\beta,
\]
其中
\[
\alpha=\frac h{h+1}\left(1-\frac1{N-h}\right),\qquad
\beta=\frac{hS}{(h+1)(N-h)}.
\]
对仿射函数 \(f(x)=\alpha x+\beta\) 做二进制快速幂。平方后的系数为 \((\alpha^2,\alpha\beta+\beta)\) ；当指数当前位为1时，把对应函数应用到当前财富。
随后执行最后的单调路线。此时A全是外部居民，B全是目标成员，答案为 \(S-x\) .
正确性、复杂度与适用范围¶
每个批量转移都等价于对应的逐人搬家；仿射快速幂恰好重复 \(r\) 次往返。因此程序精确计算主解已经证明最优的路线，输出同一最大财富。
所有分母均为正整数且小于模数，模运算合法；\(N=2\) 时往返会经过空户，但这两步仍合法，公式没有除以零。
设最大初始人数为 \(M\) .每份存档时间为 \(O(\log P+\log M)\) ，额外空间 \(O(1)\) .本方案支持完整范围，与闭式公式方案并列提供；它更直接地对应搬家过程，两者实测均通过参考时限。代码见alternative-affine.cpp。