编辑城镇与模拟币5：前向批量平均¶
Codex（GPT-6）给出本替代方案。它与主解使用相同的固定位置构造和最优性证明，直接维护每名目标成员的财富。程序使用公共输入与模运算工具 wealth.hpp。
一组居民的作用¶
按初始均值从低到高处理较富的外部居民组。设当前组均值为 \(v\) 、人数为 \(c\) ，目标财富为列向量 \(x\) .减去 \(v\) 后，单个外部居民从0出发依次与目标平均，故偏差向量被矩阵
\[
B=\frac12(I-L/2)^{-1}
\]
作用一次；这里 \(L\) 是 \(k\times k\) 的向下移动矩阵。重复 \(c\) 次得到 \(B^c\) ，其下三角卷积核为
\[
h_0=2^{-c},\qquad h_d=h_{d-1}\frac{c+d-1}{2d}\quad(1\le d<k).
\]
于是
\[
x_i'=v+\sum_{j=1}^i h_{i-j}(x_j-v).
\]
一组只需 \(O(k^2)\) 运算，无需枚举居民。用两个数组保存前后向量，避免在卷积中覆盖旧值。全部组处理完后，输出目标向量各项之和。
实现边界与复杂度¶
组均值由一个初始代表家庭计算，其人数小于 \(P\) .总人数 \(c\) 可能超过 \(P\) ，仍使用完整64位数作幂指数；递推乘法前先对 \(c+d-1\) 取模，只对 \(d<P\) 求逆。
分组时间为 \(O(n(g+1))\) ，计算时间为 \(O(k+g(k^2+\log P+\log(Q+1)))\) ，空间为 \(O(k+g)\) .本题 \(k\le20,g\le3\) ，该实现通过全部正式文件。主解的每组计算为线性，作为标准方案；此实现用于展示逐人平均的另一种批量计算方式。