农务署：题解¶
解法比较¶
出题人解法把有限小数和循环小数精确化为分数：有限部分使用十的幂作分母，循环部分使用 \(10^f(10^r-1)\) ，其中 \(f,r\) 是非循环位数和循环节长度。合并后约分，再求全部最简分母的最小公倍数。整数倍条件等价于能被每个最简分母整除，所以下文的证明也适用于出题人解法。
出题人实现自带以 \(10^9\) 为基底的大整数和试商除法；Codex（GPT-6）采用的实现改用较直接的十进制大整数运算，明确零、前导零和循环节的解析。两者都采用学校式乘除与欧几里得 GCD；用 \(D\) 表示中间整数的最大十进制位数，保守时间上界为 \(O(nD^3)\) ，算术工作空间为 \(O(D)\) .改变基底会改变常数，不能据此宣称提速；收益是可移植的精确运算与边界说明，数学模型未变。
将小数准确化为分数¶
不能使用浮点数读取比例。设有限部分的小数位数为 \(f\) ，循环部分长度为 \(r\) .把有限部分的小数点去掉，得到整数 \(A\) ；把循环部分接在这些数字后面，得到整数 \(B\) .则
证明：\(10^f x\) 与 \(10^{f+r}x\) 的无限小数尾部相同，相减后得到整数 \(B-A\) .该公式也适用于全零循环节、前导零和循环 \(9\) .例如 0.7 142857 给出 \((7142857-7)/(10(10^6-1))=5/7\) .
用最大公约数约分，得到 \(x=u/v\) .当分子为零时，\(\gcd(0,v)=v\) ，约分后的分母自然为 \(1\) .
总量是分母的最小公倍数¶
因为 \(u,v\) 互质，\(Hx\) 为整数当且仅当 \(v\mid H\) .因此答案为所有最简分母的最小公倍数，逐项更新：
这个条件也足够：已知作物数量均为整数，总和不超过 \(H\) ；剩余数量 \(H-\sum_i Hr_i\) 也是非负整数，可分配给未公布的作物。初始 \(H=1\) ，依次更新后得到最小可行正整数。
高精度实现¶
答案可能远超 64 位。参考程序仅用标准 C++17，实现非负十进制大整数的比较、减法、乘法、商和余数，无需外部大整数库。
长除法从高位逐位读入被除数。每读一位，余数乘以十再加这一位，反复减去除数得到当前商位。旧余数小于除数，所以新商位最多为九，循环不会随数值大小线性增长。除法只用于非零除数；欧几里得算法先判断第二个数是否为零。
设 \(D\) 为计算过程中大整数的最大十进制位数，\(L\) 为单个比例的最大输入长度，则 \(D=O(nL)\) .朴素乘法和单次长除法的时间均为 \(O(D^2)\) .欧几里得算法每两轮至少将较大参数缩小一半，因此最多 \(O(D)\) 轮，可得整体的保守时间上界 \(O(nD^3)\) ，空间 \(O(D)\) .这里把位数保留为参数，不把本题的长度上限代入复杂度。
验证¶
独立实现以 Python 精确分数把有限前缀与循环几何级数分别相加，再计算分母的最小公倍数。所有正式输入也以该实现核对答案，覆盖零比例、循环九、重复循环节、长有限部分及长循环部分。
程序与复现¶
参考程序见 std.cpp。使用 C++17 编译后，可用 tests/generate.py --out-dir <题目目录以外的路径> --std <程序路径> 生成输入和答案。固定种子与用例目的见 生成计划。性能测量见 评测环境与性能。