随机分析：直接期望递推¶
配套讲解的期望递推解法；Codex（GPT-6）整理为滚动存储，明确同时更新的取值顺序。程序：alternative-direct-expectation.cpp。首选方案见主解。
方法与证明¶
模数记为 \(M=998244353\) .
初始化各位置期望 \(x_j=a_j\) ，计算不变的平均值 \(\mu=n^{-1}\sum a_j\) .第 \(i\) 轮先保存旧值 \(c=x_i\) ，对每个 \(j\ne i\) 更新
\[
x_j\gets(n-1)n^{-1}x_j+n^{-1}c\pmod M
\]
最后令 \(x_i=\mu\) .独立均匀抽样使位置 \(j\) 有 \(1/n\) 的概率收到位置 \(i\) 的旧值，其余情况不变；位置 \(i\) 则收到均匀选择的位置的值。因此公式准确描述一轮期望。对轮次归纳，最终数组就是所求结果。
必须先保存 \(c\) ，不能把已经更新的 \(x_i\) 用于同一轮的其他位置。不需要保留历史轮次，因为这一轮只依赖每个位置自己的旧值和共同的 \(c\) .
复杂度与适用范围¶
总时间 \(O(n^2+\log M)\) ，空间 \(O(n)\) .\(n=1\) 也可以直接按公式运行，无须求 \((n-1)^{-1}\) .该实现最直接地对应单轮公式；仿射主解通过合并共同更新减少为线性轮次处理。
这是完整范围的正确备用方案。具体参考时限下的结果见主解实测，更高时间阶不意味着当前规模必定超时。