四分枚举与有序乘积流¶
空间优先的并列方案。Codex（GPT-6）：将 Schroeppel–Shamir 的四分与堆生成思想应用于带权乘积阈值概率，实现并验证 alternative-streaming.cpp。本方案保留主解法的小阈值 DP、确定性预处理与共同概率因子，仅替换大阈值部分。它有明确空间优势，但不能通过当前完整时限。
四个小列表¶
先把剑分成大小尽量相等的左右两半，再把每一半分成大小尽量相等的两组，得到四组。每组独立有序生成倍率与权重列表，只保留小于最大阈值的部分乘积，记为 \(A,B,C,D\) .每个列表至多有 \(2^{\lceil n/4\rceil}\) 项。
左半的完整列表是所有 \(A_iB_j\) ，右半是所有 \(C_iD_j\) .不把它们全部存入内存，而是按需要生成下一项。
用堆合并乘积行¶
固定 \(A_i\) 时，由于所有倍率为正且 \(B\) 有序，\(A_iB_0,A_iB_1,\ldots\) 也有序。把每行的第一项放进最小堆。每次取出最小乘积，再把同一行的下一项放进堆，便得到整个左半列表的升序流。
右半类似，但每行从最后一项开始，使用最大堆得到降序流。每个堆元素记录所在行、列、乘积及两项权重的乘积。重复倍率仍对应不同组合，不能忽略其权重。
对一个询问，先计算右侧全部行的权重总和，即 \(C\) 列表权重和与 \(D\) 列表权重和之积。依次取出左流中倍率 \(x<K\) 的项；从右流移除所有倍率大于 \(\lfloor(K-1)/x\rfloor\) 的项，并从剩余权重总和中减去其权重。左项权重乘剩余右权重，就是该左项对不达标概率的贡献。汇总后乘共同因子，再用 \(1\) 减去它。
每个询问重新建立两个流，四个小列表可以复用。堆内的半边乘积在最大阈值 \(M\) 处截断：先用 \(a>\lfloor(M-1)/b\rfloor\) 判断，成立时保存 \(M\) ，否则才计算 \(ab\) .全部计算使用 int64_t .一个四分组达到 \(M\) 的组合已被删除，因为它不可能属于任何不达标事件；两个保留的四分组相乘达到 \(M\) 时，可以留作截断的堆节点，由扫描排除。
正确性¶
四个小列表恰好包含各组所有仍可能参与不达标事件的触发组合。固定一行的所有配对按列单调，每次堆弹出全部行首中最小（或最大）的元素，所以有序流恰好枚举完整半边分布，且没有重复生成或遗漏配对。
左倍率增加时，已经移除的达标右项仍然达标；尚未移除的右项按降序排列，因此内层循环结束时，剩余权重恰好对应当前左项的全部不达标右项。每个不达标组合的四个部分都小于最大阈值，因而没有被提前剪枝。左右权重相乘并汇总，乘共同概率因子后取补事件，得到要求的概率。
复杂度与适用条件¶
记 \(N=2^{\lceil n/2\rceil}\) 、\(H=2^{\lceil n/4\rceil}\) .四个小列表与堆占用 \(O(H)\) 空间。每个询问输出至多 \(O(N)\) 个流元素，每次堆操作花费 \(O(\log H)\) 时间，所以大阈值部分为：
小阈值部分仍采用主解法。与主方案相比，指数空间的指数约减半，但不能在多个询问之间复用完整半边分布，每个询问又有堆维护开销。它适合空间不足而时间较宽松的环境；主方案适合本题的时间约束。独立小规模检查与正式压力点的限时结果见测试说明。
计算程序复用完整的 std.cpp 中的 DP 与基础函数；编译补充程序时，SWORDS_LIBRARY_ONLY 仅关闭标程入口。