异星工厂：测试电路板¶
解法与署名¶
首选出题人讲解中的精确区间化简，程序为 std.cpp。Codex（GPT-6）整理 C++17 实现与大整数输入的边界验证。区间结论已经在出题人的程序断言和讲解中给出。
另保留安全的直接谓词求值，程序为 alternative.cpp。这是按原条件逐项判断的备用实现，先缩小数值范围，再计算整数乘积。
化简条件¶
先由 \(p(x)\) 得到 \(x>0\) .在正整数上，平方和立方都严格递增。
因为 \(3^2=9<10\le4^2=16\) ，条件 \(x^2\ge10\) 等价于 \(x\ge4\) .
因为 \(14^3=2744<3000<3375=15^3\) ，条件 \(x^3<3000\) 等价于 \(x\le14\) .
二者合起来给出 \(4\le x\le14\) .在这个区间内，\(16\le x^2\le196<700\) ，所以 \(h(x)\) 一定为真。
因此
正确性与实现¶
满足全部谓词的数由前两个谓词必落在上述区间内；区间内的每个数又同时满足三个谓词。必要性和充分性都成立，直接比较两个端点即可。
使用有符号 64 位整数读入 \(x\) .判断不进行平方、立方或取绝对值，因此对 \(|x|\le10^{18}\) 全范围都安全，无需浮点误差阈值。
每次判断为 \(O(1)\) 时间。含读入和空测试文件在内，总时间为 \(O(T+1)\) ，额外空间为 \(O(1)\) .
验证与使用¶
固定种子的十份正式输入配方见 tests/plan.json .先自行编译程序，再运行：
python tests/generate.py --out-dir <output-directory> --std <compiled-program>
省略 --std 仅生成输入；--case 01 选择指定用例。小规模独立验证见 check_r16.py，范围校验见 validate_r16.py。五轮时间、内存、输入和程序哈希见测量记录。环境与校准方法见评测说明。
实测结果¶
Intel Core Ultra 9 275HX、Windows 11、GCC 16.2.0、C++17 -O2。两份程序在相同十份正式输入上交替运行五轮。时间取每个用例中位数的最大值，包含启动与输入输出；峰值工作集独立测量，包含运行时开销。
| 程序与算法 | 最慢中位数（秒） | 峰值（MiB） | 0.5 秒参考时限 |
|---|---|---|---|
| 区间化简 | 0.027496 | 5.32 | 已测输入通过 |
| 安全直接求值 | 0.028904 | 5.32 | 已测输入通过 |
时限由标程最慢中位数乘以 2，向上取整到 0.5 秒得到。原始轮次、输入、源码和程序哈希见测量记录。其他评测机需重新校准；这些测量只描述随附实现及已测输入。