递归训练：逐项合并最大值¶
出题人解法：递归求前缀最大值，再与末项比较。Codex（GPT-6）：整理区间接口和边界证明，并补充降低调用深度的平衡递归方案。
首选递归¶
使用零起始、左闭右开的区间 \([l,r)\) .若 \(r-l=1\) ，返回唯一元素；否则返回
\[
M(l,r)=\max\{M(l,r-1),a_{r-1}\}
\]
初始调用 \(M(0,n)\) .数组通过常量引用传递，不在每层复制。
当区间只有一个元素时返回值正确。长度更大时，前 \(r-l-1\) 项的最大值由递归正确求出，与最后一项取最大即得到整个区间最大值。对区间长度归纳可证答案正确。返回实际元素而非零，保证全负数输入正确。
代价与递归要求¶
有 \(n\) 次递归调用、\(n-1\) 次比较，时间 \(O(n)\) .调用链最多 \(n\) 层，栈空间 \(O(n)\) ；保存输入数组后总空间仍为 \(O(n)\) .本题 \(n\le100\) ，该深度适用。
std.cpp 用递归返回值参与最大值计算，满足实现要求。单看输出无法验证递归，因此使用本题作训练时还须检查源代码。
平衡区间递归和 alternative.cpp把调用深度降为 \(O(\log(n+1))\) ，保留 \(O(n)\) 总时间。它有明确的辅助栈优势，作为并列方案；两者的输入数组都占 \(O(n)\) ，不能把平衡方案的总空间写成对数。两份程序均通过完整正式数据。